พลังของพหุนามเชิงพีชคณิต
พหุนามเชิงพีชคณิตเป็นตัวเลือกหลักในการประมาณในคณิตศาสตร์ เพราะพวกเขาสามารถประเมิน หาอนุพันธ์ และอินทิเกรตได้ง่ายโดยใช้การดำเนินการทางคณิตพื้นฐาน
ฟังก์ชันในรูปแบบ:
$$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$
ทฤษฎีบทการประมาณของไวเออร์สตราส
ทฤษฎีบทนี้เป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของการวิเคราะห์เชิงตัวเลข โดยการรับรองว่าฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ บนช่วงที่ปิดและจำกัด สามารถประมาณได้ในระดับความแม่นยำที่ต้องการได้
สมมุติว่า $f$ ถูกกำหนดและต่อเนื่องบน $[a, b]$ สำหรับแต่ละ $\epsilon > 0$ จะมีพหุนาม $P(x)$ ที่ทำให้:
$$|f(x) - P(x)| < \epsilon, \text{ สำหรับทุก } x \text{ ใน } [a, b]$$
การประมาณแบบอินเตอร์โพล่าชัน เทียบกับการประมาณแบบท้องถิ่น
แม้ว่าพหุนามเทย์เลอร์จะแม่นยำมากที่จุดเฉพาะ แต่พวกมันมักจะเบี่ยงเบนอย่างรวดเร็วเมื่อเราเคลื่อนออกจากจุดนั้น (ความผิดพลาดด้านความแม่นยำแบบท้องถิ่น) ความผิดพลาดด้านความแม่นยำแบบท้องถิ่น) การประมาณแบบอินเตอร์โพล่าชันพยายามใช้จุดข้อมูลทั้งหมดในช่วงเพื่อสร้างการพอดีแบบทั่วถึง ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของไวเออร์สตราส